Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 3 & 3 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 369 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 3 & 3 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

3 \times 3

$3 \times 3$ and the second matrix is

3 \times 1

$3 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 x + 1 y + 1 z 2 x + 2 y + 2 z 3 x + 3 y + 3 z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 369 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 x + 1 y + 1 z \\ 2 x + 2 y + 2 z \\ 3 x + 3 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x + 1 y + 1 z 2 x + 2 y + 2 z 3 x + 3 y + 3 z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 369 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x + 1 y + 1 z \\ 2 x + 2 y + 2 z \\ 3 x + 3 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere

y

$y$ mit

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x + y + 1 z 2 x + 2 y + 2 z 3 x + 3 y + 3 z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 369 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x + y + 1 z \\ 2 x + 2 y + 2 z \\ 3 x + 3 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere

z

$z$ mit

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x + y + z 2 x + 2 y + 2 z 3 x + 3 y + 3 z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 369 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x + y + z \\ 2 x + 2 y + 2 z \\ 3 x + 3 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x + y + z 2 x + 2 y + 2 z 3 x + 3 y + 3 z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 369 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x + y + z \\ 2 x + 2 y + 2 z \\ 3 x + 3 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x + y + z 2 x + 2 y + 2 z 3 x + 3 y + 3 z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 369 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x + y + z \\ 2 x + 2 y + 2 z \\ 3 x + 3 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ 9 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

x + y + z = 3

$x + y + z = 3$

2 x + 2 y + 2 z = 6

$2 x + 2 y + 2 z = 6$

3 x + 3 y + 3 z = 9

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht

x

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere

y

$y$ von beiden Seiten der Gleichung.

x + z = 3 - y

$x + z = 3 - y$

2 x + 2 y + 2 z = 6

$2 x + 2 y + 2 z = 6$

3 x + 3 y + 3 z = 9

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere

z

$z$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = 3 - y - z

$x = 3 - y - z$

2 x + 2 y + 2 z = 6

$2 x + 2 y + 2 z = 6$

3 x + 3 y + 3 z = 9

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

x = 3 - y - z

$x = 3 - y - z$

2 x + 2 y + 2 z = 6

$2 x + 2 y + 2 z = 6$

3 x + 3 y + 3 z = 9

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von

x

$x$ durch

3 - y - z

$3 - y - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle

x

$x$ in

2 x + 2 y + 2 z = 6

$2 x + 2 y + 2 z = 6$ durch

3 - y - z

$3 - y - z$ .

2 (3 - y - z) + 2 y + 2 z = 6

$2 (3 - y - z) + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache

$2 (3 - y - z) + 2 y + 2 z$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 3 + 2 (- y) + 2 (- z) + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$3$ .

$6 + 2 (- y) + 2 (- z) + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$6 - 2 y + 2 (- z) + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$6 - 2 y - 2 z + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$6 - 2 y - 2 z + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$6 - 2 y - 2 z + 2 y + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$6 - 2 y - 2 z + 2 y + 2 z$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Addiere

$- 2 y$ und

$2 y$ .

$6 - 2 z + 0 + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Addiere

$6 - 2 z$ und

$0$ .

$6 - 2 z + 2 z = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Addiere

$- 2 z$ und

$2 z$ .

$6 + 0 = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.2.2.1.2.4

Addiere

$6$ und

$0$ .

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$3 x + 3 y + 3 z = 9$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle

$x$ in

$3 x + 3 y + 3 z = 9$ durch

$3 - y - z$ .

$3 (3 - y - z) + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache

$3 (3 - y - z) + 3 y + 3 z$ .

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Schritt 3.2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 3 + 3 (- y) + 3 (- z) + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Schritt 3.2.4.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1.1.2.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$9 + 3 (- y) + 3 (- z) + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Schritt 3.2.4.1.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$9 - 3 y + 3 (- z) + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Schritt 3.2.4.1.1.2.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$9 - 3 y - 3 z + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 - 3 y - 3 z + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 - 3 y - 3 z + 3 y + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Schritt 3.2.4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$9 - 3 y - 3 z + 3 y + 3 z$ .

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Schritt 3.2.4.1.2.1

Addiere

$- 3 y$ und

$3 y$ .

$9 - 3 z + 0 + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Schritt 3.2.4.1.2.2

Addiere

$9 - 3 z$ und

$0$ .

$9 - 3 z + 3 z = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Schritt 3.2.4.1.2.3

Addiere

$- 3 z$ und

$3 z$ .

$9 + 0 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Schritt 3.2.4.1.2.4

Addiere

$9$ und

$0$ .

$9 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

$9 = 9$

$6 = 6$

$x = 3 - y - z$

Schritt 3.3

Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.

$x = 3 - y - z$